SISTEMI DI TRASMISSIONE MECCANICI

La vite con chiocciola idrostatica

I vantaggi di una soluzione innovativa
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Data l’assenza di contatto tra le parti, la chiocciola idrostatica permette anche l’abbattimento dell’emissione acustica.

di Robert Jochen Schönfeld, Hyprostatik Schönfeld GmbH – 

I limiti degli azionamenti assi, con viti a ricircolo di sfere, hanno portato alla rapida diffusione dei motori lineari sincroni e delle viti con chiocciole idrostatiche Hyprostatik Schönfeld a elevata capacità di carico e bassa usura. Di seguito viene presentata tale soluzione e confrontata con gli azionamenti tramite viti a ricircolo di sfere e tramite motori sincroni lineari.

Dopo una prima fase di start up del prodotto, è arrivato il momento di effettuare un’analisi di tale soluzione. Le viti con chiocciole idrostatiche sono ormai ampiamente diffuse e spesso montate in macchine che operano 24 ore su 24 ormai da oltre di sette anni, riuscendo a garantire sempre la stessa massima precisione e affidabilità.

La chiocciola idrostatica

Data l’assenza di contatto tra le parti, la chiocciola idrostatica permette anche l’abbattimento dell’emissione acustica.

Come la vite a ricircolo di sfere, la chiocciola idrostatica trasforma il moto rotatorio di un motore in un movimento lineare. La chiocciola della vite idrostatica è sospesa su un film d’olio garantendo in tal modo l’assenza di usura da strisciamento. Tramite la regolazione della portata nei regolatori PM, lo spessore del film d’olio è mantenuto costante indipendentemente dal carico e dalla velocità. La chiocciola idrostatica è, inoltre, priva di gioco, molto rigida e ha un bassissimo coefficiente d’attrito. Negli spostamenti a bassa velocità come, per esempio, durante le fasi di posizionamento, l’attrito risulta pressoché zero. La precisione di posizionamento, lo spostamento anche minimo così come la possibile ridotta velocità di avanzamento dipendono ormai soltanto dal sistema di misura e dal relativo controllo. In presenza di carichi dinamici la chiocciola idrostatica garantisce, inoltre, un eccellente smorzamento delle vibrazioni.

Il sistema “chiocciola idrostatica” è disponibile con vite o chiocciola rotante.

Data l’assenza di contatto tra le parti, la chiocciola idrostatica permette anche l’abbattimento dell’emissione acustica. Inoltre, grazie all’assenza delle sfere, anche le vibrazioni autogenerate sono assai ridotte. Il sistema “chiocciola idrostatica” è disponibile con vite o chiocciola rotante. Le taglie partono da diametri di 40 mm fino a diametri di 160 mm, corrispondenti a carichi assiali da 10 fino a 300 kN. Tali sistemi permettono velocità lineari fino a 120 m/min, lunghezze fino a 4 m e diversi passi. Le chiocciole idrostatiche sono completate dalle boccole idrostatiche (assiale/radiale oppure solo radiale) e dalle guide idrostatiche.

Basi fisiche

Effetto cuneo e confronto delle forze tra il motore lineare e la vite con chiocciola idrostatica.

L’energia elettrica può essere convertita in modo molto efficace in energia meccanica con bassi carichi e velocità elevate. Classicamente per gli azionamenti asse si utilizzano motori elettrici con elevate velocità di rotazione, abbinati a viti per la conversione della coppia (in modo da convertire le alte velocità e basse coppie del motore in basse velocità di avanzamento ed elevata forza di spinta sul relativo carrello). Avendo a disposizione degli organi di trasmissione di elevata qualità risultano possibili anche regolazioni molto sensibili.

Nel caso di azionamenti tramite motori lineari, il principio di funzionamento è completamente differente. Per garantire grandi forze di spinta, si vanno a generare campi magnetici elevati. Per ottenere ciò, risultano necessarie elevate correnti elettriche e/o bobine ad alta induttanza. Poiché la bobina di un qualsiasi circuito elettrico ha una sua «massa elettrica», è necessario prevedere una continua accelerazione alternata di questa grossa «massa elettrica» sia in caso di carichi dinamici, sia per mantenere il carrello in posizione. Anche utilizzando tensioni molto elevate per la modifica del flusso magnetico, la forza del motore non risulta mai perfettamente costante, ma una funzione del tempo.

Questo problema esiste anche nel sistema “vite di trasmissione/motore rotativo”, ma in maniera molto più ridotta, dato che le correnti elettriche da gestire sono di entità minore rispetto a quelle del motore lineare.

La rigidità con carico statico e dinamico

La rigidità del motore lineare dipende esclusivamente dal circuito di regolazione e dall’indispensabile riga ottica. Senza questo circuito la rigidità del motore lineare risulta pressoché nulla.

Nel caso di carichi statici la rigidità del motore lineare diventa infinita. Questo, però, vale anche nel caso di vite con chiocciola idrostatica controllata tramite riga ottica.

La rigidità “dinamica” del motore lineare è la principale causa dei ritardi nella misurazione di spostamenti, dei tempi di reazione del controllo e del tempo di variazione di campi magnetici piuttosto bassi. Secondo le indicazioni di un fabbricante di motori lineari la rigidità dinamica è compresa nell’intervallo tra 30 N/µm (con carrello di 100 kg) e 120 N/µm (con carrello di 600 kg) senza indicazione delle frequenze. Data la mancanza di smorzamento nella direzione di movimento risulta possibile che si vadano a generare oscillazioni di risonanza dovute a carichi oscillanti.

La rigidità di un azionamento asse con vite e chiocciola idrostatica, assumendo il più piccolo diametro nominale disponibile pari a 50 mm e una lunghezza della vite utile di 400 mm, è di circa 350 – 400 N/µm, che nei casi di viti montate a sbalzo raggiunge valori ancora più elevati.

Oltre allo smorzamento elevato e grazie alla maggior massa dell’insieme, dovuta sopratutto dalla massa rotativa della vite, il sistema vite e chiocciola idrostatica può garantire così, anche per spostamenti piccolissimi, errori di posizionamento dinamico molto ridotti rispetto al motore lineare.

Eventuali oscillazioni longitudinali del sistema vite chiocciola idrostatica, inoltre, risultano smorzati in maniera estremamente rapida.

La massima accelerazione

Sia la vite con chiocciola idrostatica sia il motore lineare hanno un limite massimo costruttivo di accelerazione. La massima accelerazione è limitata, in entrambe le soluzioni, dalle masse in gioco e, quindi, dalla forze di avanzamento che ne derivano. La durata della vite con chiocciola idrostatica, invece, non dipende dalla accelerazione. Il motore deve accelerare, oltre alla sua propria inerzia, anche l’inerzia della vite. Nonostante ciò, i motori asse di ultima generazione garantiscono accelerazioni fino a 16-34 m/s² anche con carrelli di 500 – 1.000 kg. Nel caso di carrelli con corsa ridotta le accelerazioni massime possono, ovviamente, essere ancora più elevate.

La forza di avanzamento

La forza massima continua di spinta del più grande motore lineare in è di circa 8 kN. Tale forza, però, non risulta sufficiente per la maggior parte delle applicazioni nell’ambito macchine utensili. Le viti con chiocciole idrostatiche di taglia 50 possono trasmettere spinte fino a 20 kN. Con la taglia 125 le spinte possono raggiungere i 300 kN.

Il sistema vite con chiocciola idrostatica è, in tal senso tecnicamente, superiore al motore lineare. Elevati carichi sia per movimentazioni molto lente sia in movimentazioni estremamente veloci oppure oscillanti non limitano in nessun modo né la funzionalità né la vita della chiocciola idrostatica.

La velocità massima del carrello

Ipotizzando un passo vite di 10 mm, risulta possibile ottenere velocità di avanzamento di circa 40 m/min. Con passo 20 mm si raggiungono gli 80 m/min, mentre con passo 30 mm si può arrivare a 120 m/min. Nel caso delle viti rotanti la massima velocità di rotazione è limitata dalla velocità critica della vite. Questo limite non esiste nel caso della chiocciola idrostatica. La massima velocità del carrello azionato da un motore lineare è indicativamente compresa tra 60 e 200 m/min (sotto carico nominale).

La velocità del carrello azionato dal motore lineare viene però limitata dalla necessità di controllare l’energia cinetica anche nel caso di improvvisa caduta di tensione oppure il rischio di danneggiamento in casi di urto.

Utilità di elevate accelerazioni e velocità

Nella maggior parte delle macchine utensili le velocità elevate di spostamento dei carrelli, così come le elevate accelerazioni non sono impiegate durante il processo di lavorazione, ma soltanto per la riduzione dei tempi passivi (per esempio i posizionamenti). La riduzione dei tempi passivi attraverso accelerazioni superiori ai 10 m/s² ha poco senso per tempi di lavorazione medi. Accelerazioni ancora più elevate sono previste soltanto per particolari processi di lavorazione oppure nel caso di tempi di lavorazione estremamente corti.

Risulta, invece, decisamente più sensato un aumento della velocità di spostamento del carrello da 20 a 40 m/min. Per giustificare un ulteriore aumento della velocità di spostamento del carrello da 40 fino a 60 m/min, l’avanzamento rapido dovrebbe essere di almeno 400 mm, mentre una velocità massima di 80 m/min risulterebbe sensata solo per percorsi (in modalità di avanzamento rapido) maggiori di circa 800 mm.

Con il sistema vite/chiocciola idrostatica si possono realizzare accelerazioni di 20 m/s² e velocità massime di 120 m/min. Nella maggior parte delle macchine utensili solitamente ci si trova a operare con velocità e accelerazioni leggermente inferiori per ottenere migliori risultati in termini di qualità di lavorazione, durate più elevate, minori deformazioni dovute al surriscaldamento della struttura meccanica, e non meno, una riduzione i costi di manutenzione ordinaria e di consumo corrente elettrica.

Fabbisogno energetico, introduzione di calore, raffreddamento

La maggior parte delle macchine utensili richiede, durante i tempi attivi (che sono la maggior parte del tempo ciclo), una bassa velocità di spostamento del carrello di circa 0,1-0,4 m/min, ed, allo stesso tempo, un’elevata forza di avanzamento.

La potenza di raffreddamento del motore lineare di riferimento (utilizzato da Schönfeld) è, considerando queste bassa velocità di spostamento e una forza nominale pari a 6.600N, di 5,4 kW (secondo le indicazioni del fabbricante). Il relativo gruppo frigorifero richiede una potenza aggiuntiva di circa 2,1 kW. Nel complesso si consumano circa 7,5 kW (per ottenere una spinta di avanzamento di 6.600 N).

Un tipico sistema vite con chiocciola idrostatica per elevate velocità richiede una portata d’olio di circa 2,0 l/min (ipotizzando una pressione pompa di 50 bar). La somma di potenza dei motori necessari per il compressore e della pompa del ciclo di raffreddamento, è di circa 0,45 kW. Il motore asse richiede per una velocità di 400 mm/min di avanzamento e 10.000 N di spinta (supponendo un rendimento del 50%) una potenza di 0,14 kW. Quindi, in un applicazione come questa, il fabbisogno di potenza risulta di circa 0,6 kW. Nonostante la forza di spinta decisamente più elevata, la potenza richiesta rispetto al motore lineare sopra descritto sono soltanto 1/12 (cioè – 6,9 kW).

Supponendo un utilizzo medio per un asse, sulla sola base del costo della corrente elettrica di 0,08 Euro/kW e ipotizzando un utilizzo per 2.000 ore/anno, i costi aggiuntivi sarebbero pari a 750 Euro/anno (ipotizzando un ambiente con tre turni lavorativi da 2.250 Euro/anno). Tenendo conto dell’ammortamento di questi costi con un tasso complessivo del 12%, essi risultano comparabili con investimenti pari a 18.750 Euro, equivalenti a 6.250 Euro per asse.

Anche per poche macchine dotate di motori lineari, bisogna tener conto dei probabili costi aggiuntivi per eventuali trasformatori separati.

Il motore lineare deve essere applicato sotto il carrello. L’enorme potenza dissipata dal motore lineare sotto forma di calore deve essere asportata tramite appositi circuiti ad acqua in modo da evitare un surriscaldamento del carrello soprastante (che darebbero imprecisioni non accettabili).

Il motore asse del sistema vite con chiocciola idrostatica è normalmente posto in modo che il trasferimento di calore sull’asse stesso risulti trascurabile. Per il raffreddamento del motore è, quindi, sufficiente una ventilazione forzata. Soltanto in casi particolari risulta necessario un circuito di raffreddamento ad acqua. La quantità di energia trasferita all’olio attraverso la pompa e l’attrito della chiocciola idrostatica è, anche nel caso di veloci spostamenti del carrello, tipicamente di circa 60 – 120 Watt e viene, per la maggior parte, asportata dall’olio stesso. L’olio ha, inoltre, la funzione di mantenere costante la temperatura della vite e di lubrificarla. Soltanto in applicazioni con elevate velocità di spostamento, oppure dietro particolari richieste di stabilità termica della macchina, si rende necessario uno scambiatore aria-olio.

Confronto con la vite a ricircolo di sfere

Utilizzando azionamenti con vite a ricircolo di sfere, a causa del moto delle sfere con cambio direzionale, non risultano possibili elevate accelerazioni, velocità elevate o movimenti oscillanti con durate accettabili. La vite a ricircolo di sfere è caratterizzata da uno smorzamento molto ridotto ed è soggetta a usura. Questo causa differenze di attrito, rigidità e oscillazione della coppa nell’istante di inversione del moto. In caso di collisione, inoltre, possono rimanere impronte sulle piste delle sfere e ciò richiede la sostituzione della vite. A causa al precarico della chiocciola, a ogni inversione del moto, si manifesta un notevole salto di coppia torcente. La coppia d’attrito della chiocciola a ricircolo a sfere varia a causa dell’ingresso e dell’uscita delle singole sfere. A causa di questo salto della coppia torcente e della sua continua variazione la realizzazione di spostamenti precisi con percorsi molto piccoli, e movimenti con velocità molto basse sono possibili solo in modo limitato. Tutti questi svantaggi non esistono nel sistema vite con chiocciola idrostatica.

La chiocciola idrostatica non conosce limiti di accelerazione e può essere ottimizzata per ogni applicazione attraverso la scelta della viscosità dell’olio, la pressione e la portata. Vite e chiocciola idrostatica sono prive di usura, movimenti lenti anche in presenza di carichi elevati così come movimenti oscillanti non sono problematici nemmeno ad alte frequenze ed elevata velocità. Lo smorzamento delle vibrazioni longitudinali nella chiocciola idrostatica risulta eccellente.

Per quanto riguarda eventuali collisioni, la chiocciola risulta meno delicata, anche se per casi estremi la chiocciola/vite idrostatica può comunque subire danni.

Come testimoniano rilevamenti dell’istituto “Werkzeugmaschinen und Betriebstechnik” (WBK) dell’Università di Karlsruhe, la rigidità del sistema vite con chiocciola idrostatica risulta decisamente maggiore rispetto a quella di una paragonabile vite a ricircolo di sfere. Inoltre, la vite con chiocciola idrostatica non è soggetta a usura. Le perdite d’attrito della chiocciola idrostatica risultano molto contenute e, soprattutto, proporzionali alla velocità di rotazione; grazie a ciò, un’inversione del moto non causa salti della coppia torcente. Se la vite idrostatica è sorretta su boccole idrostatiche e se il carrello è dotato di guide idrostatiche, il motore asse non deve vincere nessun attrito nell’inversione del moto neppure per spostamenti con velocità bassissime. Il sistema vite con chiocciola idrostatica permette, inoltre, di realizzare spostamenti del carrello di frazioni di micron con estrema lentezza indipendentemente dal carico.

Assi verticali, caduta di tensione

La frenatura del motore lineare nel caso di improvvisa caduta di tensione resta problematica anche utilizzando un carrello frenato. Invece, con freno integrato nel motore asse si possono applicare, tramite la vite, forze frenanti molto più elevate. La vite con chiocciola idrostatica e passo normale (con taglia 50 e passo 10 mm) è, inoltre,  irreversibile.

In presenza di assi verticali senza compensazione di peso, solamente per tenere l’asse in posizione, il motore lineare richiede una quantità d’energia maggiore rispetto al sistema con vite e chiocciola (vedi paragrafo sul fabbisogno energetico).

Guide

Le guide del motore lineare sono sempre caricate dalle elevate forze magnetiche che agiscono anche a macchina spenta. Questo carico varia ed è multiplo della forza massima del motore; nel caso del motore di riferimento di Schönfeld ammonta a 40 kN. In combinazione con alte velocità e accelerazioni, ciò porta a una riduzione della durata delle guide a rulli. In tal senso l’utilizzo di guide idrostatiche per motori lineari risulta favorevole.

Come la chiocciola idrostatica anche le guide idrostatiche lavorano in assenza di usura ed hanno una forza d’attrito che è circa da un ventesimo a un millesimo rispetto di quello delle guide a rulli. Inoltre, questa forza è proporzionale alla velocità di spostamento e indipendente dal carico. Anche in caso di inversione del moto non esiste nessun salto di forze passive dovute alla guida. Risulta quindi possibile, con azionamenti e controlli di una certa qualità e utilizzando carrelli a croce “completamente idrostatici”, ottenere movimenti circolari in interpolazione assi con errori di profilo di circa 0,1 µm, e ciò permette un nuovo concetto macchine, per esempio: alesatrici, rettificatrici di profili descritti con coordinate.

Caratteristiche tecniche di motori lineari e viti con chiocciole idrostatiche

I trucioli sono attirati dai forti campi magnetici degli elementi del motore lineare e possono, quindi, causare problemi. Per questo motivo il motore lineare richiede delle protezioni particolari. Il montaggio, la manutenzione e la sostituzione del motore lineare, integrato nella macchina, risulta pertanto più difficoltoso rispetto ad motore asse, il quale può essere sostituito senza dover smontare il carrello stesso.

A causa dei forti campi magnetici bisogna, inoltre, prevedere misure di protezione aggiuntive per alcuni gruppi di persone (con pacemaker, protesi in metallo, donne incinte) e per alcuni oggetti (dischetti, orologi, carte di credito). Il costruttore della macchina utensile rimane legato al costruttore del motore lineare, e da questo risulta un legame a un solo fabbricante di controllo numerico. Le forze magnetiche permanenti creano, anche durante la fase di montaggio della macchina dei problemi: i fornitori dei motori lineari consigliano di tenere, durante la fase di montaggio, dei cunei non magnetici pronti, con i quali si potrebbe, in caso di incidente, dividere le parti del motore.

L’olio della chiocciola idrostatica deve ritornare alla centralina. Pertanto o si prevede un raschiatore sulla chiocciola idrostatica e la relativa tubazione fino alla centralina, oppure esso ritorna insieme all’olio delle guide nel serbatoio. Per la guida idrostatica, la vite con chiocciola idrostatica, così come per i cuscinetti della vite si può prevedere lo stesso olio con la stessa pressione fornite da un unica centralina. Inoltre, quest’olio può anche essere utilizzato in un circuito idraulico oppure di lubrificazione.

Per applicare un motore lineare bisogna riprogettare la corrispondente macchina. Le viti con chiocciole idrostatiche possono sostituire le viti a ricircolo di sfere con poche modifiche progettuali. Tenendo conto nei nuovi progetti delle dimensioni leggermente maggiori della chiocciola idrostatica rispetto a quella a ricircolo di sfere, il cliente potrà scegliere tra i due tipi di viti con chiocciole a sfere oppure idrostatiche.

Confronto economico

Un confronto concreto a livello di prezzo dipende molto da alcuni dettagli. Rispetto alla vite a ricircolo di sfere la vite idrostatica costa di più all’acquisto ma per quanto riguarda la centralina e le protezioni non ci sono costi aggiuntivi.

Nella maggior parte dei casi la soluzione con la vite e chiocciola idrostatica e motore asse è più economica di quella con il motore lineare, la quale crea costi soprattutto relativi alle componenti del motore, piastre di raffreddamento, periferia, riga ottica, controllo, gruppo refrigerante di dimensioni notevoli e costi per la ricostruzione della macchina. Le viti con chiocciole idrostatiche abbassano i costi per gli utenti finali delle macchine, in quanto, anche ipotizzando il funzionamento su tre turni, tali componenti risultano praticamente nuovi anche dopo oltre 5 anni di esercizio, mentre una vite a ricircolo di sfere, dopo tale lasso di tempo, avrebbe necessitato di almeno una sostituzione.

Con corse elevate il motore lineare aumenta anche di prezzo a causa dell’impiego di magneti permanenti.

In definitiva si può riassumere dicendo che l’avanzamento asse con vite e chiocciola idrostatica e motore asse risulta, nel complesso, più economico dell’utilizzo di un motore lineare.

Applicazioni

A distanza di anni dalle prime consegne di viti con chiocciole idrostatiche, centinaia di esse sono oggi utilizzate nella produzione di serie dalle più importanti case costruttrici europee di rettificatrici per alberi a camme e gomito, universali, ultraprecise e per dentatura. Lavorazioni non tonde con oscillazioni dell’asse superiore a 60 Hz e 3.000 giri/minuto del pezzo sono state già realizzate. Nelle brocciatrici lavorano le prime viti con chiocciola idrostatica con spinte assiali di 300 kN e 3,5 m di lunghezza creando dentature interne per cambi automatici. Nel “Machine Tool Research Center” in Florida è presente una fresatrice con guide e chiocciole idrostatiche, e l’istituto “Fraunhofer IPT” ad Aachen (Germania) utilizza viti con chiocciole idrostatiche così come guide idrostatiche in una macchina utensile di ultraprecisione.

Conclusioni

La chiocciola idrostatica non conosce limiti di accelerazione e può essere ottimizzata per ogni applicazione attraverso la scelta della viscosità dell’olio, la pressione e la portata.

Le viti con chiocciole a ricircolo di sfere sono limitate in termini di precisione di posizionamento, rigidità, accelerazione, velocità, capacità di carico e durata.

Nella vasta gamma di applicazioni con velocità di lavoro e di rapido fino a 80 m/min, la vite con chiocciola idrostatica è, dal punto di vista tecnico ed economico, da preferirsi rispetto al motore lineare.

A differenza della vite a ricircolo di sfere e al motore lineare, la vite con chiocciola idrostatica, raggiunge velocità fino a 120m/min, accelerazioni analoghe al motore lineare, e nello stesso momento consuma solo circa 1/10 dell’energia (per applicazioni standard su macchine utensili). A parità di accelerazione, la vite con chiocciola idrostatica offre una maggiore forza di spinta rispetto al motore lineare. La vite con chiocciola idrostatica possiede uno smorzamento eccellente, e l’applicazione di una riga ottica non è strettamente necessaria. La rigidità dinamica del motore lineare è molto bassa (da 30 a 120 N/µm). La rigidità della vite con chiocciola idrostatica rispetto al suo appoggio (idrostatico) è maggiore della rigidità statica di circa 1.200 – 2.000 N/µm. Dotati di guide idrostatiche, entrambi i sistemi possono raggiungere elevate precisioni di posizionamento; il motore lineare ha problemi a tenere fermo il carrello in una posizione in caso di variazioni esterne del carico o con carichi dinamici. Le portate d’olio d’esercizio della chiocciola idrostatica di circa 1-2 l/min possono essere facilmente ricondotte verso la centralina. Le enormi perdite dei motori lineari creano temperature molto elevate sotto il carrello e devono, perciò, essere raffreddati con appositi e costosi gruppi frigoriferi. Trucioli d’acciaio e ghisa vengono attratti dai magneti permanenti e sono in grado di danneggiare le parti primarie e secondarie della macchina utensile. I trucioli che si trovano sulla vite, temprata e non magnetica sono semplicemente spinti via dalla chiocciola. La chiocciola idrostatica pulisce la vite e riesce, inoltre, a mantenere costante la sua temperatura in maniera continuata. Le elevate forze del motore lineare causano un’usura precoce delle guide a corpi volventi. A ciò si può rimediare applicando guide idrostatiche. Durante il montaggio ci sono pericoli notevoli legati alle caratteristiche magnetiche del motore lineare. Un motore asse accoppiato a una vite è molto più facile da sostituire rispetto alla sostituzione di un motore lineare guasto. Inoltre alle viti possono essere collegati motori e controlli numerici di fornitori diversi senza pesanti modifiche costruttive strutturali della macchina stessa.

A prescindere da alcune macchine HSC (High Speed Cutting) che richiedono, durante l’asportazione di materiale, elevate velocità – da 20 a 40 m/min – e accelerazioni, anche estreme – vale a dire maggiori di 10 m/s² – garantiscono soltanto un minimo risparmio di tempo. Questo guadagno di tempo non giustifica nella maggior parte dei casi il dispendio costruttivo soprattutto per realizzare le accelerazioni più elevate.

L’applicazione di una vite con chiocciola idrostatica, idealmente completa di reggispinta idrostatica può pertanto costituire una valida alternativa al motore lineare.

 

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